Aquiles y la tortuga

...estalla el infinito

Al lector (fragmento): 

Un buen vino no necesita etiquetas. Un concepto eficaz tampoco necesita ejemplos. Pero una etiqueta puede testimoniar la calidad del vino, y un ejemplo apropiado puede convencernos de la validez de un concepto.El ejemplo tiene la ventaja de ser más comprensible que el concepto y de grabarse más fácilmente en la memoria, aunque siempre corre el peligro de quedar impreso perdiendo toda relación con aquello a lo que se refiere. Pero es un viejo remedio contra la impaciencia del lector: ya lo decía hace un siglo uno de los mejores discípulos de Hegel, Karl Rosenkranz...

2- Zenón de Elea (s. v a. C), discípulo de Parménides, fue célebre por sus paradojas. Con la más famosa, la de Aquiles, mostró que, como teorizaba su maestro, el concepto de devenir ya no responde a la realidad del ser. Zenón fue el primero en convertir la meditación filosófica en una técnica lógica, invirtiendo así la forma común de pensar.
Zenón tuvo la imprudencia de sostener que en una carrera Aquiles sería derrotado por una tortuga. Y sin embargo la tortuga es un animal muy lento -¿quién no lo sabe?-, mientras que Aquiles era un rayo, aunque no todos lo sepan. Pero cualquiera que haya leído a Homero lo sabe de sobra. En la Ilíada cada personaje tiene un apelativo característico: a Patroclo se le llama «descendiente de Zeus», a la diosa Atenea, «la de ojos de lechuza», a Héctor, «divino». ¿Y a Aquiles? Extrañamente Homero, en lugar de definirle como «invencible» o «invulnerable», le llama «el los pies ligeros». Los griegos del siglo V a. C. conocían este epíteto homérico. Realizaban sus primeros estudios y a menudo aprendían a leer con los poemas de Homero. Y las obras de Platón y Aristóteles están entretejidas de citas homéricas. Por eso Zenón elige precisamente a Aquiles para convertirlo en el protagonista de un ejemplo paradójico, destinado a pasar a la historia. 

Zenón era el discípulo predilecto de Parménides, fundador de la escuela de Elea, activa durante todo el siglo V a. C. Con Parménides, que introdujo el germen de la abstracción en la interpretación de la realidad, la filosofía trastoca por primera vez el sentido común. La doctrina de Parménides se basaba en la idea paradójica de que la realidad fuese exactamente lo contrario de lo que todo el mundo cree. Es decir, el hombre común piensa que existe una multiplicidad de cosas en continua transformación. Parménides, en cambio, consideraba errónea esta perspectiva, y sostenía que la realidad era una unidad inmóvil y eterna.
 

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El eco de esta sorprendente doctrina llegó enseguida a Atenas, y con ella la fama de las hábiles argumentaciones con las que el ingenioso discípulo de Parménides era capaz de defenderlas frente a sus adversarios. Por eso se consideró un gran acontecimiento la llegada a Atenas de los dos pensadores de la colonia griega de Elea con motivo de la más antigua y solemne fiesta ateniense en honor de Atenea, patrona de la ciudad: las Grandes Panateneas. Este excepcional acontecimiento fue reflejado por Platón en el preámbulo de su diálogo Parménides. Los tres protagonistas, el joven Sócrates, Parménides y Zenón, se encuentran en casa de Pitodoro, discípulo de Zenón, donde se alojan los dos eleatas. Surge una discusión que se convertirá en una piedra millar de la historia del pensamiento, tanto que muchos años después los jóvenes apasionados por la filosofía seguirán deseosos de conocer sus contenidos.


En el diálogo Parménides está descrito como un hombre de sesenta y cinco años, canoso pero todavía bello, y Zenón como un hombre de cuarenta, alto v apuesto, del que se rumoreaba que era amante del maestro. Al principio del diálogo Zenón ya ha expuesto a los presentes sus famosos argumentos. Sócrates le objeta que no hacen más que reiterar la teoría de Parménides que consí dera ilusoria toda pluralidad. Zenón no lo niega: no se propone formular una nueva teoría, sino sólo mostrar las consecuencias contradictorias en las que incurre [quien sostiene la pluralidad de lo real. ¿Cómo lo consigue?
Zenón no ignoraba que la teoría parmenidea de la inmutabilidad del ser era percibida como una paradoja, es decir, como un razonamiento contrario a la opinión común (parádoxos viene de para, contra, y doxa, opinión). Pero también estaba convencido de que concebir la realidad como múltiple y en movimiento todavía era más paradójico. Para demostrarlo concibió una serie de e1 e m -píos inspirándose en la cultura de la época: entre ellos la paradoja de Aquiles, que nos ha sido transmitida por Aristóteles en su Física (239b 14).



Una tortuga desafía a Aquiles a una carrera, concediéndose sólo una pequeña ventaja. El héroe homérico, por veloz que sea, nunca conseguirá alcanzarla, aunque ella sea muy lenta, porque antes debería cubrir la sene infinita de partes de espacio que los separan. En efecto, cuando Aquiles haya alcanzado el punto de partida de la tortuga, ésta habrá recorrido otra porción de camino, y cuando él haya superado también este tramo, ella se habrá adelantado otro tramo, y así hasta el infinito.
Suponiendo que Aquiles sea diez veces más veloz que la tortuga, su persecución, traducida matemáticamente, puede ser expresada mediante una progresión geométrica como la siguiente: 10 + 1 + 1/10 + 1/102... + l/10n.
Una progresión geométrica como ésta, en la que n tiende al infinito, comporta un residuo infinitesimal. En la realidad concreta, macroscópica, nadie lo tendría en cuenta. Sin embargo, Zenón, exasperando el cálculo de aquel residuo, pudo demostrar la imposibilidad de una ciencia del movimiento.
Aristóteles, que le llamó «padre de la dialéctica» por su habilidad argumentativa, creyó refutarlo con una lección de sentido común. La extensión lineal -objetó- sólo es divisible en potencia, pero en acto es una entidad continua. Por eso Aquiles puede superar fácilmente a la tortuga, porque no tiene que pararse cuando alcanza su punto de partida.

¿Pero era ése el objetivo de Zenón? La crítica opina que no, y avanza la hipótesis de que la finalidad de sus paradojas fuese matemática má s que física, es decir, que éstas debían interpretarse como la intraducibilidad matemática de la realidad a través de la infinita divisibilidad del tiempo y del espacio. De hecho Zenón, en otra de sus paradojas, sostiene de forma análoga que una flecha, después de ser disparada, nunca conseguirá alcanzar su blanco, porque antes tendrá que cubrir la mitad de la distancia, y antes aún la mitad de la mitad, y así hasta el infinito.
Tendrán que pasar varios siglos para superar las dificultades de estas paradojas. Sucederá en el siglo xvn con el cálculo infinitesimal, gracias al cual se demostrará que la suma de un número infinito de segmentos puede dar un segmento finito, determinable a través del cálculo de las series geométricas. Se verá así que no es en absoluto contradictorio afirmar que un cuerpo en movimiento puede cubrir las infinitas posiciones de un recorrido finito. El tiempo necesario será finito, aunque comprenda una infinidad de instantes.


Que esta interpretación de la paradoja zenoniana sea la más correcta parece confirmado por una anécdota transmitida por el biógrafo Diógenes Laercio del siglo ni d. C. (Vidas IX, 26). Al parecer Zenón ha tramado una conjura contra el tirano Nearco. Descubierto, es hecho prisionero y torturado para que revele los nombres de los cómplices. El filósofo, en cambio, primero se burla del tirano y luego le dice que se acerque para poderle susurrar los nombres. Pero cuando Nearco llega a su alcance, le hinca los dientes en la oreja como un mastín. Si no hubiese creído en la existencia del movimiento, la provocación no le habría salido bien.
Zenón era un intelectual típico de la antigua Grecia: seriamente comprometido con la política y convencido cultor de la amistad. Pero con sus ejemplos paradójicos ha conquistado un lugar único en la historia del pensamiento y ha transmitido un bacilo de perenne incertidumbre: ¿tenemos que creer en lo que nos sugieren los sentidos o en lo que nos dice la razón? La bibliografía sobre sus paradojas es amplísima. Innumerables filósofos, matemáticos y lógicos han intentado arreglar las cuentas con él. Hasta los escritores se han quedado prendados por su «joya»: para el argentino Borges Zenón es incontestable, porque la palabra «infinito», una vez admitida en el pensamiento, «estalla y lo mata».


Borges demuestra que Aquiles y la tortuga han sobrevivido hasta el siglo xx en los debates teóricos. Otro testimonio de ello es el de un filósofo todavía vivo, Doug as Hofstadter, uno de los autores más acreditados en las ciencias de la mente. Es norteamericano, y, con el típico desenfado del mundo de las barras y estrellas, ha concebido una continuación surrealista de la aventura de los dos personajes zenonianos. En su obra El ojo de la mente (escrita con Daniel C. Dennett) imagina que Aquiles y la tortuga se encuentran casualmente en París a orillas de un pequeño lago.


Aquiles: ¡En, señorita tortuga! ¡Creía que todavía estaba en el siglo V a. C!
Tortuga: ¿Y a usted qué le trae por aquí? Yo suelo ir de paseo a través de los siglos...


La atmósfera es ideal para una pausa de reflexión. Mientras algunos niños se divierten jugando con sus barquitos, ellos dos se ponen a discutir de filosofía: ¿cómo funciona nuestra mente? Pero al cabo de un rato se impone el deseo de reanudar su desafío plurisecular.


Tortuga: Es usted un poco presuntuoso, Aquiles... Tal vez no le resulte tan fácil alcanzar a una tortuga enérgica.
Aquiles: ¡Sólo un loco apostaría por una tortuga tardígrada desafiándome a una competición pedestre! ¡De acuerdo! El último que llegue a la casa de Zenón paga prenda.

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